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1 小欧拉改羊圈
瑞士数学家（1707 1783）小时候一边放羊，一边读书。他读的书中，有不少数学书。他放的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，他爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米（15+15+40+40=110）父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美。父亲终于同意让儿子试试看。小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原来40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米边长延长，增加10米，变成25米。经这样一改，原来的羊圈变成了25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了。”父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上篱笆，100米长篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴。孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息。父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生。
2 正方形VS长方形
当周长一定时，围成一个方形，两边的关系与两边形成的面积有何相关关系，我可以先讨论两边相等时（正方形），与两边不等时（长方形）形成的面积对比关系。
设周长为C，正方形边长为a，长方形长为b、宽为c。
①根据正方形周长公式C=4a，则正方形边长a=C/4
根据正方形面积公式S1=边长2，则正方形面积S1=（C/4）2=C2/16
②根据长方形周长公式C=（b+c）×2，则b+c=C/2
根据长方形面积公式得S3=bc
因为a=C/4，所以a=C/2×1/2=（b+c）×1/2=（b+c）/2
则S1 S3
=a2 bc
=（b+c）2/4 bc
=（b+c）2/4 4bc/4
=（b+c）2 4bc/4
=（b2+2bc+c2 4bc）/4
=（b2 2bc+c2）/4
=（b c）2/4
因为b≠c，所以（b c）2＞0
则（b c）2/4＞0
即S1 S3＞0
所以S1＞S3
所以周长相等的长方形和正方形，正方形的面积大于长方形的面积。
类似地，可以看到，b和c越接近（也就是长方形越接近正方形），其周长一定时组成的面积最大。
3 图形证明当周长一定时，正方形面积 长方形面积注意到△ABC∽△DBA ,可以很轻松地得到AB=√ab。
设想周长=2*a+b时，所组成的方形的面积。
长方形的面积＝a*b=线段AB长的正方形的面积。
可以看到，当周长=2*a+b、a和b相等时，也就是线段AB的长＝a+b/2圆半径时，面积最大。
几何平均值小于算术平均值：几何平均数（geometric mean）是指n个观察值连乘积的n次方根。是不等式中最重要和基础的等式。几何平均数体现了一个几何关系，即过一个圆的直径上任意一点做垂线，直径被分开的两部分为a,b,那么那个垂线在圆内的一半长度就是根号ab,并且a+b/2 =根号ab!这就是它的几何意思，也是称之为几何平均数的原因。
作一正方形，使其面积等于以a,b为长宽的矩形，则该正方形的边长即为a、b的几何平均数.
以下图形也可以直观地看到这种关系：
4 正方形、圆面积比较
设长度为a，若是正方形，边长是a/4，的面积是a2/16，而圆的半径是a/2π，面积则是a2/4π，π=3.14，面积约是a2/12，故周长一定时，圆的面积最大。
5 正多边形、圆面积比较
正N边形的所有顶点都在同一个外接圆上，将正N边型的顶点都与外接圆的圆心相连将正N边型分成N个全等等腰的三角形，等腰三角形的顶角为2π/N，可求得小等腰三角形的面积为0.5sin2π/NR2，再乘以等腰三角形的个数N即得。
正弦定理
对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：
sinA / a = sinB / b = sinC/c
也可表示为：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
其中R是三角形的外接圆半径。
它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 sinA/a是通过A,B和C三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中（1）已知两个角和一个边求未知边和角（2）已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角测量中常见情况。
三角函数正弦定理可用于求得三角形的面积：
S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB
正多边形面积S＝N*0.5sin2π/NR2，当N趋近于无穷大时，sin2π/N=2π/N（这是高数里面的等价无穷小），那么得到的就是圆的面积S=πR2。
根据古典神话，公元前1193 1184年，泰雅国的公主黛多为逃避同胞哥哥的追杀，跟随一些卫士逃离了国家。他们坐船来到非洲，见到了非洲的雅布王。肯求雅布王给他一些土地。雅布王很同情她们，想给他们一些土地，但又怕他们所要更多的土地就想出了一个妙计。他给了黛多公主一块牛皮，说：“你们用这块牛皮圈土地，我会把圈到的土地给你们的。”卫士们一听，很生气。一张小小的牛皮能圈多大的土地？但是，黛多公主并不生气，带着卫士们圈地去了。雅布王暗喜，这下不会损失太多的土地了。可是，不一会儿，仆人来报告：“黛多公主圈的地已经有整个国家的三分之一大了”。雅布王大吃一惊，急忙赶去看，原来黛多公主并没有把牛皮直接铺在地上，而是把牛皮搓成牛皮绳，用牛皮绳沿着海岸线圈出了一块很大的半圆形土地。雅布王很佩服她的智慧，心甘情愿的给了她那块土地。
结论：周长一定的平面封闭图形以圆的面积最大。
.参考：http://wenku.baidu.com/view/49978201a6c30c2259019e89.html
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