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来源：知乎
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无理数的发现
公元前500年，有一位牛人，叫毕达哥拉斯。如果你对这位牛人有点儿陌生，那你一定知道「毕达哥拉斯」定理，那就是「直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方」。
在我国，这个定理就是著名的勾股定理。
在毕达哥拉斯的时代，这个定理还有个有趣的名字，叫做「百牛定理」。原因是毕达哥拉斯发现并证明这个定理的时候太兴奋了，传说杀了100头牛来祭祀神明，感谢神明赐给他的灵感。
这位牛人创办了一个数学学派，叫做毕达哥拉斯学派。你可别认为这个学派和现在的什么后现代美术学派是一回事，毕达哥拉斯学派在当时那基本就是个宗教。
比如这个学派中有「不允许吃豆子」、「不允许用铁拨弄火」等奇怪的规定，毕达哥拉斯本人作为「教主」，称呼自己创办的学派为「教团」，他给学生们讲课的时候身穿白色法衣，头顶金冠站在法坛上。
哲学家赫拉克利特这样评价他：「毕达哥拉斯读了大量的书，亲自创造出智慧、博识与妖术。」
那么这个「毕达哥拉斯教团」信奉的神灵是什么呢？——别笑，他们信数字。
教团相信，整数像原子一样，构成了宇宙中的一切，并描述宇宙中的一切。宇宙的一切事物的度量都可用整数或整数的比来表示，除此之外，就再没有什么了。
也许你会觉得这种想法很幼稚，但听听下面的描述，也许你会觉得毕达哥拉斯说的很有道理。
我们问一个问题：整数，以及两个整数相除的分数，可以占满整个数轴吗？
我们先从整数（也就是分母为1的分数开始），把这些数字扔到数轴上。
嗯，有一些空隙，没填满。那我们再把所有分母为2的数字（上面数字的一半）插进去。
然后再插入分母为4的数字：
随着分母的不断增大，我们插入的数字会越来越多，插到数轴上的点将会越来越密集。任意给出一小段长度，比如1/1000，那么我们可以找出1/10000这样小的数字插进去。
无论多么小的两个分数之间，我们都能插入分母都更大的数字插进去（也就是更精确的整数比值），比如1/7和2/7之间，我们想要一个更精确的数，那么可以把3/14插进去。
于是毕达哥拉斯学派认为「组成和描述世界的，只有整数和整数之比」这个观点，你是不是觉得也很有道理？
然而，这个观点是错的，而且错的很远很远。
毕达戈拉斯有一个学生，叫希勃索斯。这个哥们勤奋好学，善于观察分析和思考。一天，他跑到毕达哥拉斯面前问他：「边长为1的正方形，其对角线的长是多少呢？」
毕达哥拉斯听到这个问题就愣了，根据他证明的定理，边长为1的正方形的对角线长度的平方应该等于2（即1??+1??），那么什么数字的平方等于2呢？
毕达哥拉斯寻找了很久都没有找到，他希望能找到两个很大很大的数字相除，结果等于这个数字。但无论找到的分数的分子和分母多大，这个比值都只能很接近，却不能精确地等于2开平方（当时还没有√2这种表达方式）。
也许你会想，数字要多大有多大，现在找不到，不代表以后找不到，也许有某两个100亿位的数字相除，结果正好等于2开平方呢？
答案是没有。不需要一直找下去，就可以直接证明，√2不是任何两个整数之比。如果你有兴趣可以看看下面这段证明，不感兴趣的话跳过去也不影响阅读。
反证法：
假设√2=p/q，
p、q为互质的正整数
（两个正整数,除了1以外,没有其他公约数时,称这两个数为互质数，非互质的两个数相除，可以消去公约数而成为更小的分数，比如2/4可以消掉公约数2变成1/2）
两边平方：2=p??/q??
p??=2q?? ——（1）
2q??显然为偶数,所以p??也是偶数，所以p必为偶数
设p=2k（k为正整数）
则（1）式变为：4k??=2q??
q??=2k??
同理得q也为偶数
两个偶数必有一个公约数2
与题设的p、q互质矛盾
故不存在互质的正整数p和q构成一个等于√2的分数
希勃索斯的这个发现，从根本上动摇了毕达哥拉斯神教的立教之本。毕达戈拉斯无法解释这种“怪” 现象，他惊骇极了，整个学派的理论体系将面临崩溃。忐忑不安下，他采取了错误的方式：下令封锁消息，也不准希勃索斯再研究和谈论此事。
希勃索斯在毕达戈拉斯的高压下，心情非常痛苦，但在事实面前，他认为根号2是客观存在的，老师的理论体系无法解释它，这说明老师的理论有问题。
后来，他不顾一切的将自己的发现和看法传扬了出去，整个学派顿时轰动了，也使毕达戈拉斯恼羞成怒，无法容忍这个“叛逆”。决定对希勃索斯施加加惩罚。后者听到风声后，连夜乘船逃走。然而，就在他所乘坐的海船的后面追来了几艘小船，当他还未醒悟过来的时候，毕达戈拉斯学派的打手已出现在他的面前，他手脚被绑后，投入到了浩瀚无边的大海之中。这位年轻的数学家就这样为了知识献出了生命。
后来的人们把希勃索斯发现的这种数称之为无理数，之前毕达哥拉斯所认为是宇宙全部的数（整数和两个整数至比），称为有理数。
实际上这两个称呼的翻译是错误的，有理数来自于单词「rational number」, 词根ratio意思除了「合理」之外，还有一个含义是「比率」，所以更准切的翻译是「可被比例描述的数」和「不可被比例描述的数」。只不过叫习惯了，也就没必要改了。
后来的人们又证明，不仅存在着无理数，而且无理数的数量远远多于有理数。上述不断增大分母插入分数的方法，无论进行到多少，数轴上都有着数不清的「缝隙」，被无理数填满。
在0和1之间随便插一根针，你有几乎是100%的概率得到一个无理数。
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