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“数学之所以有生命力，就在于有趣。数学之所以有趣，就在于它对思维的启迪。
以下就是一则概率论起源的故事。 早些时候，法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。 巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？ 是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？ 这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3／4,赢了3局的拿这个钱的1／4。 为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。若是A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了，即A、B各赢4局，这个钱应该对半分。现在，A赢、输的可能性都是1／2,所以，他拿的钱应该是1／2 1＋1／2 1／2＝3／4,当然，B就应该得1／4。 通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念—————数学期望。 在上述问题中，数学期望是一个平均值，就是对将来不确定的钱今天应该怎么算，这就要用A赢输的概率1／2去乘上他可能得到的钱，再把它们加起来。 概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科。”布丰的投针试验公元1777年的一天，法国科学家D·布丰（D·buffon1707～1788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙；“圆周率π？这可是与圆半点也不沾边的呀！”布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值。不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题。布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d，小针长为l，投针的次数为n，所投的针当中与平行线相交的次数是m，那么当n相当大时有：在上面故事中，针长l等于平行线距离d的一半，所以代入上面公式简化我想，喜欢思考的读者，一定想知道布丰先生投针试验的原理，下面就是一个简单而巧妙的证明。找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。现在设想把圆圈拉直，变成一条长为πd的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不相交。由于圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数可望是一样的。这就是说，当长为πd的铁丝扔下n次时，与平行线相交的交点总数应大致为2n。现在再来讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度l成正比，因而有：m＝kl式中K是比例系数。为了求出K来，只需注意到，对于l＝πd的特殊情形，有m＝2n。于这便是著名的布丰公式。布丰的投针试验公元1777年的一天，法国科学家D·布丰（D·buffon1707～1788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙；“圆周率π？这可是与圆半点也不沾边的呀！”布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值。不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题。布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d，小针长为l，投针的次数为n，所投的针当中与平行线相交的次数是m，那么当n相当大时有：在上面故事中，针长l等于平行线距离d的一半，所以代入上面公式简化我想，喜欢思考的读者，一定想知道布丰先生投针试验的原理，下面就是一个简单而巧妙的证明。找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。现在设想把圆圈拉直，变成一条长为πd的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不相交。由于圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数可望是一样的。这就是说，当长为πd的铁丝扔下n次时，与平行线相交的交点总数应大致为2n。现在再来讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度l成正比，因而有：m＝kl式中K是比例系数。为了求出K来，只需注意到，对于l＝πd的特殊情形，有m＝2n。于这便是著名的布丰公式。亲爱的读者，你不妨一试。戳穿“摸彩”骗局“天有不测风云，人有旦夕祸福”。这话有对的一面，也有不对的一面，对的是，说出了事物发生的偶然性。不对的是，夸大了偶然的成份，忽视了偶然中的必然规律和量的关系，给人笼罩上一种不可知论的阴影。举例说，在世界上火车与汽车相撞的事件，时有发生。然而，却几乎没有人，由于担心火车与汽车相撞，不去乘火车、汽车而宁愿步行。这是为什么呢？原因是：在现实中，这种相撞的可能性实在是太小了。在世界上千千万万次的车祸中，能找到的也只是极少数几例。又如，人遭遇车祸，这种可能性通常要比火车与汽车相撞的可能性大不知多少倍。然而，在人们亿万次的外出中，遭遇车祸毕竟还是占少数。这潜意识包含了一条极重要的原理——小概率原理，即一个概率很小的事件，一般不会在一次试验中发生。下面给你介绍一个有趣的游戏。如果你新到一个班级，那么你完全可以大言不惭地对你班上49名新伙伴，作一次惊人的宣布：“新班级里一定有人生日是相同的！”我想大家一定会惊讶不已！可能连你本人也会感到难以置信吧！因为首先，你对他们的生日一无所知，其次，一年有365天，而你班上只有50人，难道生日会重合吗？但是，我必须告诉你，这是极可能获得成功的。这个游戏成功的道理是什么呢？原来，班上的第一位同学要与你生日不同。那么他的生日只能在一年365天中的另外364天，即如此等等，得到全班50名同学生日都不同的概率为：用计算器或对数表细心计算，可得上式结果为：P（全不相同）=0.0295由于50人中有人生日相同和全不相同这两件事，二者必居其一，所以P（有相同）＋P（全不相同）＝1因而P（有相同）＝1 P（全不相同）＝1 0.0295＝0.9705即你的成功把握有97％，而失败的可能性不足3％，根据小概率原理，你完全可以断定这是不会在一次游戏中发生的。目前，在一些小市镇可以看到一种“摸彩”的招徕广告。这实际是一种赌博，赌主利用他人无知和侥幸心理，有恃无恐地把高额的奖金设置在极小概率的事件上。赌客纵然一试再试，仍不免一次次败兴而归，结果大把的钞票，哗哗流进了赌主的腰包。我们应当戳穿这种骗局。有人见过一个“摆地摊”的赌主，他拿了八个白、八个黑的围棋子，放在一个签袋里。规定说：凡愿摸彩者，每人交一角钱作“手续费”，然后一次从袋中摸出五个棋子，赌主按地面上铺着的一张“摸子中彩表”给“彩”。这个“摸彩”赌博，规则十分简单，赌金也不大，所以招徕了不少过往行人，一时围得水泄不通。许多青年不惜花一角钱去碰“运气”，结果自然扫兴者居多。下面我们深入计算一下摸到“彩”的可能性。（读者如果一时弄不清计算的方法，可以只看结果），现在按摸1000次统计；赌主“手续费”收入共100元，他可能需要付出的连纪念品在内的“彩金”是：[P（五个白） 2+P（四个白） 0.2+P（三个白） 0.05〕 1000＝〔0.0128 2+0.1282 0.2+0.3589 0.05] 1000＝69.19（元）赌主可望净赚30元。我想看了以上的分析，读者们一定不会再怀着好奇和侥幸的心理，用自己的钱，去填塞“摸彩”赌主那永填不满的腰包吧！从《歧路亡羊》谈起《歧路亡羊》是《列子》中一篇寓意深刻的故事。文如下：杨子之邻人亡羊，既率其党，又请杨子之竖追之。杨子曰：“嘻！亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路。”既返，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”曰：“奚亡之？”曰；“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也。”下面我们就来研究一下杨子的邻人，找到丢失的羊的可能性有多大。假定所有的分叉口都各有两条新的歧路。这样，每次分歧的总歧路数分别为21，22，23，24，…，到第n次分歧时，共有2n条歧路。因为丢失的羊走到每条歧路去的可能性都是相等的，所以当羊走过n个三叉路口后，一个人在某条歧路上例如，当n＝5时，即使杨子的邻人动员了6个人去找羊，找到羊的可能性也只有还不及五分之一。可见，邻人空手而返，是很自然的事了！现在我们再设想道路是这样特殊：从第二次分歧起，邻近的歧路相连通成一个新的“丫”字叉口，像下图所示那样。显然，当丢失的羊在这种特殊的歧路网上，走到第一个三叉口时，它既可能从东边，也可能从西边走入不同的两条南北走向的街。这样情形我们记为：（1，1）。接着往下有三条南北走向的街：只有一直向左转时，羊才会进入东边的那条；羊进入中间的一条街有两种可能，第一次向左而第二次向右，或第一次向右而第二次向左；只有两次都向右时，羊才能进入西边的那条街，概括三种情形，我们记为（1，2，1）。同样分析可以得知，再接下去的四条南北走向街的情形可记为：（1，3，3，1）记号中的每一个数字，都代表到达相应街的不同的路线数。如此下去，我们可以得到一个奇妙的数字表。这个三角形表的每行两端都是1，而且除1以外的每个数都等于它肩上两个数字的和。这是因为。它实际上表明了丢失的羊到达该数字地点的路线数，所以应等于两肩路线数的累加。类似的数字表早在公元1261年就出现在我国数学家杨辉的著作中，所以我们称它为：“杨辉三角”。在欧洲，这种表的出现要迟上四百年，发现者就是前些节故事中提到过的法国数学家巴斯卡。因此国外常把这种表叫做“巴斯卡三角形”。杨辉三角第n排的数字和，实际上就是《歧路亡羊》中第n次分叉后的总的歧路数，所以应当等于2n。例如，表最后一排的数字和：1+6＋15＋20＋15＋6＋1＝26为方便起见，我们把杨辉三角中第n排的除开头“1”以外的第k个数字记为Ckn。这样做的优点是，今后如若需要了解到达上述位置会有多少可能的路线时，无需思考，立即知道是Ckn条。下面要讲的是概率论中颇为重要的课题——独立重复试验。我们很快就会看到：将要得到的结果，与杨辉三角之间的联系是很密切的。以掷币为例。如果我们把掷币中出的正面和反面的可能，比喻成杨辉三角中向左和向右的路线，那么，杨辉三角中的第一排（1，1），就相当于掷第一枚币时出现的（正，反）可能；而第二排的（1，2，1），就相当于重复掷两枚币时出现的（两正，一正一反，两反）可能；而第三排中的（1，3，3，1），就相当于重复掷三枚币时出现（三正，二正一反，二反一正，三反）的可能，如此等等。这样，杨辉三角中第n排各数，与掷n枚币出现的各种可能性的数目有以下对等关系。于是，我们得出，重复n次掷币，出现k次正面或反面的概率为：例如，掷6次币，出现三次正面的概率式中的C36＝20，是从杨辉三角表中相应位置查到的。上面我们讲的掷币，每次出现正、反机会都是均等的。假如某事件出现的的概率是P，那么在n次试验中，该事件恰好出现k次的概率又如何呢？这只要注意到一个事实，即在杨辉三角中，任何到达“Ckn”的路线，都必须是恰好向右走k次，向左走n k次，这里，假如我们把向右走相当于事件发生，向左走相当于事件不发生，那么，任何一条到达“Ckn”位置线路的概率均为Pk（1 P）n k，其中（1 P）是事件不发生的概率。由本节开头的分析知道，到达“Ckn”的线路数即为Ckn，所以我们即得n次试验中，事件出现k次的概率公式：Pn（k）=Ckn·Pk（1 P）n k看到此处说明本文对你还是有帮助的，关于“概率小故事”留言是大家的经验之谈相信也会对你有益，推荐继续阅读下面的相关内容，与本文相关度极高！
